I sorteggi UEFA (delle tre big) e la matematica

di Kantor |

Si e’ discusso in queste ore di un evento apparentemente strano, ovvero del fatto che Barca, Real e Bayern, pur essendo approdate ai quarti finale di CL per cinque anni di fila, non si siano mani dovuti scontrare nei quarti. Molti hanno preso questo come un indizio del fatto che la UEFA addomestichi i sorteggi ma io, sebbene non abbia alcuna fiducia in quella istituzione, mi trovo costretto a smentirli. E non lo faccio io, ma lo fa la matematica. E se riuscirete a leggere il resto senza cadere addormentati sarete d’accordo con me.

Possiamo immaginare il tabellone dei quarti come una lista delle otto squadre coinvolte scritte una sotto l’altra, dato che il sorteggio e’ libero. Quante liste del genere si possono fare con otto squadre diverse? La risposta e’ ovvia, sono le permutazioni di un insieme di 8 oggetti e il loro numero e’ esattamente 8!=40320,

Quante di queste possibili liste contengono uno (e uno solo visto che le squadre son tre) degli scontri diretti che vogliamo? Facciamo un esempio con Barca-Real. Le possibili liste sono tutte fatte cosi’:

– Barca e Real mei primi due posti (2 possibilita’)
– oppure nel terzo e nel quarto (2 possibilita’)
– oppure nel quinto e nel sesto (2 possibilita’)
– oppure nel settimo e l’ottavo (2 possibilita’)

In ogni caso in tutti gli altri posti ci possono essere le altre sei in qualunque ordine; questo vuole dire che tutti gli otto casi possibili danno luogo a 6!=720  liste diverse. Ne segue che le liste che prevedono lo scontro diretto Barca-Real (o Real-Barca) sono esattamente  8×6! = 5760. Lo stesso vale per ogni altro scontro diretto e, dato che squadre son tre, non sono possibili sovrapposizioni di liste. Quindi le liste che contengono uno (e uno solo!) scontro diretto tra Barca, Real o Bayern sono esattamente
5760×3 = 17280.

Ne consegue che la probabilita’ che uno scontro diretto ci sia e’ 17280/40320 = 0.43 (il 43%) mentre che non ci sia e’ 0.57 (ovvero il 57%). Quindi la probabilita’ che non succeda per cinque anni (dato che gli eventi sono chiaramente indipendeti) e’  0,57 alla quinta che fa piu’ o meno 0,06. Ne consegue che la probabilita’ di non avere uno scontro diretto  per cinque anni e’ circa il 6%.

Ora a molti questa probabilita’ puo’ sembrare bassa, ma in realta’ rientra perfettamente nella norma; il 6% e’ circa la probabilita’ di fare testa (o croce) 4 volte di fila giocando a testa o croce. o equivalentemente di veder uscire 4 volte di fila rosso (o nero) alla roulette. E chiunque abbia giocato a testa o croce (o alla roulette) sa che non sono eventi cosi’ improbabili. Piu’ in generale si puo’ usare della matematica piu’ sofisticata (che vi risparmio) per stimare di quanto sia sensato che gli eventi reali si discostino dalle probabilita’ teoriche. E in questa luce l’evento che abbiamo preso in questione non attira particolare attenzione.

In altre parole, l’UEFA potra’ pure manipolare i sorteggi, ma dal punto di vista probabilistico l’evento considerato non fornisce aluna indicazione in questo senso.